我们可以将微分方程写成特征方程的形式，给定方程为：
y'' + 2y' + y = 4x^2 - 5
特征方程为：r^2 + 2r + 1 = 0
解这个方程得到特征根为：r = -1，-1
由于特征根相同，我们可以得到特解的形式为：y_p(x) = Ax^2 + Bx + C
将特解代入原方程得到：2A + 2B + 2C + 2(Ax + B) + Ax^2 + Bx + C = 4x^2 - 5
整理得到 Ax^2 + (4A + 2B + B)x + 2A + 2B + 2C + C = 4x^2 - 5
比较系数得到以下方程组：
A = 4
4A + 2B + B = 0
2A + 2B + 2C + C = -5
解这个方程组得到 A = 4, B = -8, C = -5
特解为：y_p(x) = 4x^2 - 8x - 5
因此，通解为：y(x) = C_1e^(-x) + C_2xe^(-x) + 4x^2 - 8x - 5。其中C_1和C_2为任意常数。
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